Wir wissen jetzt, dass wir uns auf einem auf der Erde liegenden Kreis befinden. Der Mittelpunkt entspricht dem Bildpunkt. Er ist also bekannt. Den Radius kennen wir ebenfalls. Er entspricht unserem Abstand vom Bildpunkt, wie wir ihn im Abschnitt Das Grundprinzip berechnet haben. Eigentlich sollte es jetzt ein Leichtes sein, die Standlinie in die Seekarte einzutragen: Wir zeichnen den Bildpunkt ein und zeichnen mit einem Zirkel einen Kreis um diesen.
Aber leider gibt es da ein Problem: Der Radius ist viel zu groß. In den meisten Fällen beträgt er weit über 2000 Seemeilen. Wir werden daher keine Seekarte finden, in die wir sowohl den Bildpunkt als auch den Kreis eintragen können. Und selbst wenn wir eine solche Karte finden sollten, wird sie uns nicht viel nützen. Weil eine Seekarte eine zweidimensionale Abbildung der Erdoberfläche ist, ist sie verzerrt. Man könnte also einen so großen Kreis mit einem Zirkel nicht annähernd richtig zeichnen. Deshalb müssen wir hier einen Trick anwenden.
Auf der Zeichnung sehen wir in rot den Ausschnitt, der auf unserer Seekarte abgebildet ist. Der Bildpunkt befindet sich außerhalb der Karte. Jetzt wählen wir eine beliebige geschätzte Position auf der Karte, die ungefähr unserer tatsächlichen Position entsprechen könnte. Wir werden nun ausgehend von der geschätzten Position einen Punkt auf der Standlinie ermitteln. Dann zeichnen wir durch diesen Punkt eine Tangente an die kreisförmige Standlinie. Weil der Ausschnitt, der auf der Seekarte dargestellt ist im Verhältnis zum Kreis sehr klein ist, können wir diese Tangente als Kreisausschnitt betrachten. Auf der Zeichnung wird das ganze deutlich: Die Tangente weicht innerhalb des Kartenausschnitts nur unwesentlich von dem Kreis ab, und in der Realität ist das Verhältnis von Kreis und Kartenausschnitt in der Regel noch extremer. Wir können also sagen, dass die gesuchte Position irgendwo auf dieser Tangente liegt.
Abstand von geschätzter Position zum Bildpunkt berechnen
Zunächst einmal müssen wir den Abstand zwischen der geschätzten Position und dem Bildpunkt ausrechnen. Das geht mit folgender Formel:
\(a = 60 \cdot \arccos(\sin(BG) \cdot \sin(BB) + \cos(BG) \cdot \cos(BB) \cdot \cos(LB-LG))\)a: Abstand zum Bildpunkt in Seemeilen
BB: Breite Bildpunkt
LB: Länge Bildpunkt
BG: Breite geschätzte Position
LG: Länge geschätzte Position
Bevor wir die Formel anwenden, müssen wir jedoch alle Längen und Breiten in Dezimalgrade umrechnen. (siehe: Koordinatensystem der Erde) Außerdem gilt: Alle östlichen Längen und alle südlichen Breiten sind negativ!
Beispiel:
Der Bildpunkt befindet sich auf Position:
6° 34′ S
3° 13′ W
Die geschätzte Position lautet:
54° 21’N
4° 10′ E
Wenn wir alle Koordinaten umrechnen ergeben sich folgende Werte:
Bildpunkt:
Breite: -6,567° (südlich also Minuszeichen)
Länge: 3,217°
Geschätzte Position:
Breite: 54,35°
Länge: -4,167° (östlich also Minuszeichen)
Nach Einsetzen dieser Werte in die Formel ergibt sich ein Abstand von 3673,8 Seemeilen.
Den Kurs von geschätzter Position zum Bildpunkt berechnen
Als nächstes berechnen wir den Kurs, den man ausgehend von der geschätzten Position fahren müsste, um zum Bildpunkt zu gelangen. Dies ist die Richtung, in der Sir die Sonne sehen. Dazu verwenden wir folgende Formel:
\(HK = \arccos \left(\frac{\sin(BB)-sin(BG) \cdot \cos(\frac{a}{60})}{\cos(BG) \cdot \sin(\frac{a}{60})} \right)\)
HK: Halbkreisiger Kurs
BB: Breite Bildpunkt
BG: Breite geschätzte Position
a: Abstand von geschätzter Position zum Bildpunkt in sm
Achtung: Der halbkreisige Kurs muss nun noch in einen vollkreisigen Kurs umgerechnet werden: Wenn sich der Bildpunkt östlich von der geschätzten Position befindet, entspricht der hablkreisige dem vollkreisigen Kurs. Befindet sich der Bildpunkt westlich von der geschätzten Position, muss man den halbkreisigen Kurs von 360° anziehen um den Vollkreisigen zu erhalten.
Beispiel: Wenn wir die obigen Koordinaten in die Formel einsetzten, erhalten wir zunächst den halbkreisigen Kurs von 171,6°. Der Bildpunkt befindet sich in diesem Fall in westlicher Richtung. Also beträgt der vollkreisige Kurs 360°-171,6° = 188,3°.
Standlinie einzeichnen
Aus dem Abschnitt Das Grundprinzip wissen wir, wie wir unseren tatsächlichen Abstand zum Bildpunkt berechnen. Der Abstand zwischen Bildpunkt und geschätzter Position ist uns ebenfalls bekannt. Wir können jetzt wie folgt den Abstand zwischen der geschätzten Position und der Standlinie berechnen:
\(d=ag – at\)
d: Entfernung zwischen geschätzter Position und Standlinie in sm
ag: Entfernung zwischen geschätzter Position und Bildpunkt in sm
at: Entfernung zwischen tatsächlicher Position/Standlinie und Bildpunkt
Achtung: Wenn d negativ ist, hat das Minuszeichen eine Bedeutung. Wir dürfen es also nicht einfach weglassen.
Zeichnen wir jetzt die geschätzte Position in die Seekarte ein. Die blaue Linie ist die Kurslinie, die zum Bildpunkt führt. Ihre Richtung haben wir bereits berechnet. Nun messen wir mit einem Lineal oder Kartenzirkel ausgehend von der geschätzten Position den Abstand d auf dieser Linie ab. Wenn d positiv ist, müssen wir d in Richtung Bildpunkt abtragen. Ist d negativ, geschieht das Abtragen in die entgegengesetzte Richtung. Durch den so ermittelten Punkt zeichnen wir jetzt senkrecht zur Bildpunktrichtung die Standlinie (bzw. Tangente daran) ein.
Wir wissen jetzt, dass wir und irgendwo auf dieser Standlinie befinden. Wenn wir die ganze Prozedur noch einmal mit einem anderen Gestirn durchführen oder ein paar Stunden warten, bis die Sonne weitergewandert ist, erhalten wir noch eine Standlinie. Unsere Position entspricht dann dem Schnittpunkt beider Standlinien.